Question

在如圖的直三棱柱中，，點(diǎn)是的中點(diǎn).

(1)求證：∥平面；
(2)求異面直線與所成的角的余弦值；
(3)求直線與平面所成角的正弦值；

Answer 1

（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量證明，進(jìn)而用線面平行的判定定理即可證明；
（2）
（3）

試題分析：因?yàn)橐阎�直三棱柱的底面三邊分別是3、4、5，
所以兩兩互相垂直，
如圖以為坐標(biāo)原點(diǎn),直線分別為軸、軸、軸
建立空間直角標(biāo)系，                                                     ……2分

則，，.
（1）設(shè)與的交點(diǎn)為，連接,則
則 
∴∥， ∵內(nèi)，平面
∴∥平面 ；                                                  ……4分
（2）∵ ∴，
.                              ……6分
∴；
∴所求角的余弦值為 .                                             ……8分
（3）設(shè)平面的一個(gè)法向量，則有：
，解得，.                                    ……10分
設(shè)直線與平面所成角為. 則，
所以直線與平面所成角的正弦值為.                 ……12分
（其它方法仿此酌情給分）
點(diǎn)評(píng)：解決立體幾何問題，可以用判定定理和性質(zhì)定理，也可以建立空間直角坐標(biāo)系用向量方法證明，但是用向量方法時(shí)，也要依據(jù)相應(yīng)的判定定理和性質(zhì)定理，定理中需要的條件要一一列舉出來(lái)，一個(gè)也不能少.