Question

（滿分14分）設函數

（1）設曲線在點（1，）處的切線與x軸平行．

     ① 求的最值；

     ② 若數列滿足（為自然對數的底數），，

       求證： ．

（2）設方程的實根為．

求證：對任意，存在使成立．

 

Answer 1

【答案】

解：（1）①的最小值為。無最大值；②見解析；（2）見解析.

【解析】本試題主要是考查了導數在研究函數中的運用。求解函數的單調性和導數幾何意義的運用，以及不等式的證明的綜合問題

（1）第一問利用已知條件得打參數m的值，然后求解導數。判定其單調性，求解函數的單調區間，從而得到最值和放縮法得到不等式的證明

（2）第二問中運用函數與方程思想，來分析方程的解的問題。并構造函數來證明不等式 成立。

解：（1）由已知，

①。當時

當時。則在（0,1）上是減函數，在上是增函數。的最小值為。無最大值．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．４＇

②（當且僅當時取到等號）

即且

即

則。又

即

則故不等式成立。．．．．．．．．．．．９＇

（2）設故在上遞增。

又

所以方程即在上有唯一根且而不等式

不妨設

設

設集合

即存在成立。

那么不等式也成立

故對任意使得成立．．．14＇