Question

已知函數f(x)=

1

2

x2-lnx．
（I）求f（x）的單調區間；
（II）若g(x)=-

2

3

x3+x2，證明當x＞1時，函數f(x)的圖象恒在函數g(x)的圖象的上方．

Answer 1

分析：（I）求出函數的定義域，求出導函數，求出導函數的根，列出x，f′（x），f（x）的變化情況表，求出單調區間．
（II）構造新函數h（x）=f（x）-g（x），求出h（x）的導函數，判斷出h′（x）＞0在（1，+∞）上恒成立，判斷出h（x）遞增，求出h（x）的最小值，判斷出最小值大于0，判斷出h（x）＞0，判斷出f（x）＞g（x），得證．

解答：解：（I）∵f(x)=

1

2

x2-lnx的定義域為(0，+∞)，
又f(x)可得：f′(x)=x-

1

x

=

x2-1

x

令f'（x）=0，則x=1
當x變化時，f'（x），f（x）的變化情況如下表：

x	（0，1）	1	（1，+∞）
f'（x）	-	0	+
f（x）	遞減	極小值	遞增

故f（x）的單調遞減區間是（0，1），單調遞增區間是（1，+∞）
（II）令h(x)=f(x)-g(x)=

2

3

x3-

1

2

x2-lnx
則h′(x)=2x2-x-

1

x

=

2x3-x2-1

x

=

(x-1)(2x2+x+1)

x

∵x＞1
∴h'（x）＞0
∴h（x）在（1，+∞）上單調遞增

又h(1)= 1 6 ＞0 ∴f(x)＞g(x)

當x＞1時，f（x）的圖象恒在g（x）圖象的上方．

點評：求函數的單調區間注意要先求出函數的定義域，單調區間是定義域的子集；證明不等式常轉化為求函數的最值．