Question

已知函數，；
(1)當時，求函數的單調區間；
(2)若函數在[1,2]上是減函數，求實數的取值范圍；
(3)令，是否存在實數，當 (是自然對數的底數)時，函數的最小值是.若存在，求出的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

(1)當時，函數的單調遞減區間為，遞增區間為；(2)若函數在[1,2]上是減函數的取值范圍是；(3) 存在使得當時，有最小值．

解析試題分析：（1）當時，，求導的，分別解不等式和，可得函數的單調遞減區間和單調遞增區間；（2）求導函數，利用函數在區間上是減函數，可得在上恒成立，考查函數，問題轉化為二次函數在閉區間上的值：在上恒成立，列不等式求參數的取值范圍；（3）假設存在實數，使得有最小值3，寫出函數的表達式，求導函數，分，，三種情況討論，確定函數的單調性，利用函數的最小值是3，即可求出實數的值．
試題解析：（1）當時，，由，得

故其單調遞減和遞增區間分別是.               3分
（2）在上恒成立          5分
令，，∴在上恒成立，
∴得，∴                .8分
（3）假設存在實數，使得有最小值3，
           9分
①當時，，在上單調遞減，
∴(舍去)          10分
②當，即時，在上，；在上，，在上單調遞減，在上單調遞增，滿足條件．
③當，即時，在上單調遞減，（舍去）．
綜上所述，存在使得當時，有最小值．
考點：1．導數的運算；2．利用導數研究函數的單調性；3．利用導數求函數的最值．