Question

如圖2-5-7所示,有兩條相交成60°的直線xx₁、yy₁,交點為O.甲、乙分別在Ox、Oy₁上,起初甲位于離O點3 km的A處,乙位于離O 1 km的B處.后來兩個人同時用每小時4 km的速度,甲沿xx₁的方向,乙沿yy₁的方向運動.

(1)起初兩個人的距離是多少?

(2)什么時候兩人的距離最近?(△ABC的三邊長為a，b，c，則有如下結論：b²=a²+c²-2accosB)

圖2-5-7

Answer 1

解：(1)起初兩人分別在A、B兩點,則||=3,||=1.

∴||=||²+||²-2||||cos60°=9+1-2×3×1×=7.

∴||= km,即起初兩人相距 km.

(2)設甲、乙兩人t小時后的位置分別是P、Q，

則||=4t,||=4t,

又∵甲沿xx₁的方向,乙沿yy₁的方向運動，

∴當0≤t≤時，

||²=(3-4t)²+(1+4t)²-2(3-4t)(1+4t)cos60°=48t²-24t+7；

當t＞時,

||²=(3-4t)²+(1+4t)²-2(3-4t)(1+4t)cos120°=48t²-24t+7(t＞0).

綜上,||²=48t²-24t+7=48(t)²+4,t∈［0,+∞).

∴當t=,即在第15分鐘末時,PQ最短,兩人最近,最近距離為2 km.