Question

已知函數f(x)=1-

2

3x+1

．
（1）求函數f（x）的定義域并判斷函數f（x）的奇偶性；
（2）用單調性定義證明：函數f（x）在其定義域上都是增函數；
（3）解不等式：f（3m²-m+1）+f（2m-3）＜0．

Answer 1

分析：（1）化簡函數的解析式為

3x-1

3x+1

，求得函數f（x）的定義域為R，再根據f（-x）=-f（x），可得函數f（x）是定義在R上的奇函數．
（2）用增函數的定義證明 函數f（x）在其定義域上是增函數．
（3）由f（3m²-m+1）+f（2m-3）＜0，得f（3m²-m+1）＜-f（2m-3）．再利用函數的奇偶性、單調性的性質解此不等式．

解答：解：（1）∵函數f(x)=1-

2

3x+1

=

3x+1-2

3x+1

=

3x-1

3x+1

，
可得3^x＞0，3^x+1≠0，∴函數f（x）的定義域為R．
再根據f（-x）=

3-x-1

3-x+1

=

1-3x

1+3x

=-f（x），
故f（x）是定義在R上的奇函數．
（2）證明：任取x₁＜x₂，則f（x₁）-f（x₂）=1-

2

3x1+1

-(1-

2

3x2+1

)
=

2

3x2+1

-

2

3x1+1

=2×

3x1-3x2

(3x1+1)(3x2+1)

．
由題設x₁＜x₂ 可得0＜3x1＜3x2，∴3x1-3x2＜0，且 3x1+1＞0，3x2+1＞0，
故有 f（x₁）＜f（x₂），
∴函數f（x）在其定義域R上是增函數．
（3）由f（3m²-m+1）+f（2m-3）＜0，得f（3m²-m+1）＜-f（2m-3）．
∵函數f（x）為奇函數，
∴-f（2m-3）=f（3-2m），不等式即f（3m²-m+1）＜f（3-2m）．
由（2）已證得函數f（x）在R上是增函數，
∴f（3m²-m+1）＜f（3-2m）等價于 3m²-m+1＜3-2m，
即3m²+m-2＜0，即（3m-2）（m+1）＜0，∴-1＜m＜

2

3

．
不等式f（3m²-m+1）+f（2m-3）＜0的解集為{m|-1＜m＜

2

3

}．

點評：本題主要考查函數的奇偶性的判斷，用函數的單調性的定義證明函數的單調性，利用函數的奇偶性和單調性解不等式，屬于中檔題．