Question

已知命題p：函數f（x）=

1-x

3

，實數m滿足不等式f（m）＜2，命題q：實數m使方程2^x+m=0（x∈R）有實根．若命題p、q中有且只有一個真命題，求實數m的范圍．

Answer 1

分析：先確定當命題p，q為真命題時的等價條件，然后利用命題p、q中有且只有一個真命題，確定實數m的范圍．

解答：解：若命題p為真命題，則因為f（x）=

1-x

3

，f（m）＜2，
∴

1-m

3

＜2，∴-5＜m，
∴p：m＞-5．
若命題q為真命題，則因為方程2^x+m=0（x∈R）有實根，
2^x＞0，∴m＜0，
∴q：m＜0．
若命題p、q中有且只有一個真命題，存在兩種情況：
（1）當p為真命題，q為假命題時，

m＞-5 m≥0

，∴m≥0，
（2）當q為真命題，p為假命題時，

m≤-5 m＜0

，
∴m≤-5．
綜上，當命題p、q中有且只有一個真命題時，m≤-5或m≥0．

點評：本題主要考查了利用復合命題的真假作為條件求參數的取值范圍．先求出簡單命題為真命題時的等價條件是解決本題的關鍵．