Question

設y=f（x）是二次函數,方程f（x）=0有兩個相等的實根，且

f′（x）=2x+2.

（1）求y=f（x）的表達式；

（2）求y=f（x）的圖象與兩坐標軸所圍成圖形的面積.

（2）若直線x=－t（0＜t＜1＝把y=f（x）的圖象與兩坐標軸所圍成圖形的面積二等分，求t的值.

Answer 1

解析：（1）設f（x）=ax²+bx+c，則f′（x）=2ax+b，

又已知f′（x）=2x+2

∴a=1，b=2.

∴f（x）=x²+2x+c

又方程f（x）=0有兩個相等實根，

∴判別式Δ=4－4c=0，即c=1.

故f（x）=x²+2x+1.

（2）依題意，有所求面積=.

（3）依題意，有，

∴，－t³+t²－t+=t³－t²+t，2t³－6t²+6t－1=0，

∴2（t－1）³=－1，于是t=1－.

評述：本題考查導數和積分的基本概念.