Question

實系數一元二次方程x²+ax+2b=0有兩個根，一個根在區間（0，1）內，另一個根在區間（1，2）內，求：
（1）點（a，b）對應的區域的面積；
（2）

b-2

a-1

的取值范圍；
（ 3）（a-1）²+（b-2）²的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）設f（x）=x²+ax+2b，根據二次函數的性質與零點存在性定理可得f（0）＞0、f（1）＜0且f（2）＞0．由此建立關于a、b的二元一次不等式組，在aob坐標系內作出相對應的平面區域，得到如圖所示的△ABC及其內部，利用三角形的面積公式即可算出該區域的面積；
（2）設點E（a，b）為區域內的任意一點，根據直線的斜率公式可得k=

b-2

a-1

表示D、E連線的斜率，將點E在區域內運動并觀察直線的傾斜角的變化，即可算出k=

b-2

a-1

的取值范圍；
（3）設點E（a，b）為區域內的任意一點，由兩點的距離公式可得（a-1）²+（b-2）²表示點D、E之間距離的平方，再運動點E并觀察D、E的距離變化，即可算出（a-1）²+（b-2）²的取值范圍．

解答：解：（1）設f（x）=x²+ax+2b，
∵方程x²+ax+2b=0的一個根在區間（0，1）內，另一個根在區間（1，2）內，
∴可得

f(0)＞0 f(1)＜0 f(2)＞0

，即

b＞0 a+2b+1＜0 a+b+2＞0

．
作出滿足上述不等式組對應的點（a，b）所在的平面區域，
得到△ABC及其內部，即如圖所示的陰影部分（不含邊界）．
其中A（-3，1），B（-2，0），C（-1，0），
∴S△ABC=

1

2

|BC|×yA=

1

2

×1×1=

1

2

，即為點（a，b）對應的區域的面積．

（2）設點E（a，b）為區域內的任意一點，
則k=

b-2

a-1

，表示點E（a，b）與點D（1，2）連線的斜率
∵kAD=

2-1

1+3

=

1

4

，kCD=

2-0

1+1

=1，結合圖形可知：kAD＜

b-2

a-1

＜kCD，
∴

b-2

a-1

的取值范圍是(

1

4

，1)；
（3）設點E（a，b）為區域內的任意一點，
可得|DE|²=（a-1）²+（b-2）²，表示區域內的點D、E之間距離的平方
運動點E，可得當E在C點時滿足|DE|²=（-1-1）²+（0-2）²=8，
在當E在A點滿足|DE|²=（-3-1）²+（1-2）²=17．
由此可得（a-1）²+（b-2）²取值范圍為：（8，17）．

點評：本題給出含有參數a、b的一元二次方程滿足的條件，求參數a、b滿足的不等式組，并依此求關于a、b式子的取值范圍．著重考查了二次函數的性質、零點存在性定理、二元一次不等式組表示的平面區域、直線的斜率公式與兩點間的距離公式等知識，屬于中檔題．