Question

已知函數f（x）＝（1＋x）²－4a lnx（a∈N﹡）．
（Ⅰ）若函數f（x）在（1，＋∞）上是增函數，求a的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，若關于x的方程f（x）＝x²－x＋b在區間[1，e]上恰有一個實根，求實數b的取值范圍．

Answer 1

⑴；⑵或為所求．

試題分析：⑴由題意，函數的定義域為
由 
知對恒成立，記
由于函數在上是增函數，故,所以
又，所以為所求．                         5分
⑵由題知，整理得
記，則
注意到，故函數在上單調遞減，在上單調遞增．
由知，
所以關于的方程在區間上恰有一個實根 時
或為所求．
點評：近幾年新課標高考對于函數與導數這一綜合問題的命制，一般以有理函數與半超越（指數、對數）函數的組合復合且含有參量的函數為背景載體，解題時要注意對數式對函數定義域的隱蔽，這類問題重點考查函數單調性、導數運算、不等式方程的求解等基本知識，注重數學思想（分類與整合、數與形的結合）方法（分析法、綜合法、反證法）的運用.把數學運算的“力量”與數學思維的“技巧”完美結合