Question

已知數列{a_n}中，a1=

1

2

，點（n，2a_n+1-a_n）在直線y=x上，n∈N^*．
（1）令b_n=a_n+1-a_n-1，證明：{b_n}為等比數列；
（2）求數列{a_n}的通項公式；
（3）設S_n、T_n分別為數列{a_n}、{b_n}的前n項和，是否存在實數λ，使得數列{

Sn+λTn

n

}為等差數列？若存在，求出λ的值，并給出證明；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據點（n，2a_n+1-a_n）在直線y=x上，可得2a_n+1-a_n=n，利用b_n=a_n+1-a_n-1，即可證得{b_n}為等比數列；
（2）a_n+1-a_n=1+b_n=1-

3

4

×(

1

2

)n-1，疊加可得數列{a_n}的通項公式；
（3）存在λ=2，使數列{

Sn+λTn

n

}是等差數列．利用S_n=

n(n-3)

2

+3[1-(

1

2

)n]，T_n=

3

2

[(

1

2

)n-1]，求得前三項，即可求得結論．

解答：（1）證明：∵點（n，2a_n+1-a_n）在直線y=x上，∴2a_n+1-a_n=n
∵b_n=a_n+1-a_n-1，∴2b_n+1=a_n+1-a_n-1=b_n，
∵a1=

1

2

，2a_n+1-a_n=n
∴a₂=

3

4

，
∴b₁=a₂-a₁-1=-

3

4

≠0
∴{b_n}為等比數列；
（2）解：a_n+1-a_n=1+b_n=1-

3

4

×(

1

2

)n-1
疊加可得：a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-a_n-1）+…+（a₂-a₁）+a₁=n-2+3×(

1

2

)n
（3）解：存在λ=2，使數列{

Sn+λTn

n

}是等差數列．
S_n=

n(n-3)

2

+3[1-(

1

2

)n]，T_n=

3

2

[(

1

2

)n-1]
∴

S1+λT1

1

=

1

2

-

3

4

λ，

S2+λT2

2

=

10-9λ

16

，

S3+λT3

3

=

42-21λ

48

數列{

Sn+λTn

n

}是等差數列
∴2×

10-9λ

16

=

1

2

-

3

4

λ+

42-21λ

48

，∴λ=2
當λ=2時，

Sn+λTn

n

=

n-3

2

，數列是等差數列
∴當且僅當λ=2時，數列是等差數列．

點評：本題考查數列遞推式，考查等比數列的定義，考查疊加法的運用，考查是否存在性問題的探究，綜合性強．