Question

已知|

a

|=2|

b

|≠0，若關于x的函數f(x)=

1

3

x3+

1

2

|

a

|x2+

a

•

b

x在R上是單調函數，則向量

a

與

b

的夾角范圍為

[0，

π

3

]

．

Answer 1

分析：由題意開始：函數f′（x）=x²+|

a

|x+

a

•

b

的圖象與x軸沒有交點或者只有一個交點，可得△=

a

2-4

a

•

b

≤0，即

a

•

b

≥

1

4

•

a

2，再結合cos＜

a

，

b

＞=

a • b

| a || b|

與已知條件得cos＜

a

，

b

＞≥

1

2

，再結合余弦函數的性質得到答案．

解答：解：因為關于x的函數f(x)=

1

3

x3+

1

2

|

a

|x2+

a

•

b

x在R上是單調函數，
所以函數f′（x）=x²+|

a

|x+

a

•

b

與x軸沒有交點或者只有一個交點，
所以△=

a

2-4

a

•

b

≤0，即

a

•

b

≥

1

4

•

a

2，
因為cos＜

a

，

b

＞=

a • b

| a || b|

，并且|

a

|=2|

b

|≠0
所以cos＜

a

，

b

＞≥

1

2

，
所以θ∈[0，

π

3

]．
故答案為：[0，

π

3

]．

點評：解決此類問題的關鍵是熟練掌握函數的單調性與函數導數之間的關系，以及向量的數量積運算與余弦函數的有關性質，此題綜合性較強屬于中檔題．