Question

在數列{a_n}中,已知a₁=1,a₂=3,a_n+2= 3a_n+1- 2a_n.
(1)證明數列{ a_n+1- a_n}是等比數列,并求數列{a_n}的通項公式;
(2)設b_n=,{b_n}的前n項和為S_n,求證

Answer 1

⑴a_n=a₁+(a₂-a₁)+ (a₃-a₂)+…+(a_n- a_n-1)=1+2+2²+…+2^n-1==2ⁿ-1;
⑵b_n==log₂2ⁿ=n,S_n=,
,
所以
=2<2.

本題是中檔題，考查等差數列的基本性質，考查計算能力，利用數列的前3項是等比數列建立方程是解題的關鍵．本題第二小題借用（1）結論用解方程組的方法求出數列通項，設計巧妙，值得借鑒
（1）由a_n+2= 3a_n+1- 2a_n得a_n+2- a_n+1= 2(a_n+1- a_n),a₂-a₁=2,
所以,{ a_n+1- a_n}是首項為2,公比為2的等比數列,從而得到結論。
(2)因為b_n=n,那么結合已知關系式得到裂項求和，從而求解得到結論。