Question

（本題滿分18分）本題共有3個小題，第1小題滿分5分，第2小題滿分5分，第3小題滿分8分。
已知是公差為d的等差數列，是公比為q的等比數列。
（1）若，是否存在，有？請說明理由；
（2）若（a、q為常數，且aq0）對任意m存在k，有，試求a、q滿足的充要條件；
（3）若試確定所有的p，使數列中存在某個連續p項的和式數列中的一項，請證明。

Answer 1

（1）不存在，理由見解析。
（2），其中是大于等于的整數。
（3）當為奇數時，命題都成立。

（1）由得，
整理后，可得，
、，為整數，
不存在、，使等式成立。
（2）當時，則，
即，其中是大于等于的整數，
反之當時，其中是大于等于的整數，則，
顯然，其中，
、滿足的充要條件是，其中是大于等于的整數。
（3）設，
當為偶數時，式左邊為偶數，右邊為奇數，
當為偶數時，式不成立。
由式得，整理得，
當時，符合題意。
當，為奇數時，


由，得

當為奇數時，此時，一定有和使上式一定成立。
當為奇數時，命題都成立。