Question

某工廠生產一種儀器，由于受生產能力和技術水平的限制，會產生一些次品，根據以往的經驗知道，其次品率P與日產量x（件）之間近似滿足關系：P=

1 96-x ，1≤x≤c，x∈N+ 2 3 ，x＞c，x∈N+

（其中c為小于96的正整常數）
（注：次品率P=

次品數

總生產量

，如P=0.1表示每生產10件產品，有1件次品，其余為合格品．）已知每生產一件合格的儀器可以盈利A元，但每生產一件次品將虧損A/2元，故廠方希望定出合適的日產量．
（1）試將生產這種儀器每天的贏利T（元）表示為日產量x（件的函數）；
（2）當日產量為多少時，可獲得最大利潤？

Answer 1

分析：（1）每天的贏利為T=日產量（x）×正品率（1-P）×盈利（A）-日產量（x）×次品率（P）×虧損（

A

2

），整理即可；
（2）由（1）知，只要考查當1≤x≤c時的情況即可；若令f(x)=A(x-

3x

192-2x

)，則由f′(x)=A

4(x2-192x+48×189)

(192-2x)2

=0，可得x=84；從而得當x＜84時，f'（x）＞0，當84＜x＜96時，f'（x）＜0，即當c≤84，日產量為c時，利潤最大；當84＜c≤96，日產量為84時，利潤最大．

解答：解：（1）根據題意，每天的贏利為T=x（1-P）A-xP•

A

2

=-

3A

2

xP+xA=

xA(1- 3 192-2x )     (1≤x≤c，x∈ N*) 0                           (x＞c，x∈N*)

；
（2）由（1）知，只要考查1≤x≤c時的情況即可；
令f(x)=A(x-

3x

192-2x

)，則f′(x)=A

4(x2-192x+48×189)

(192-2x)2

=0，得x=84
且當x＜84時，f'（x）＞0，當84＜x＜96時，f'（x）＜0，
所以當c≤84時，日產量為c時，利潤最大；當84＜c≤96時，日產量為84時，利潤最大．

點評：本題考查了利潤函數模型的應用，并且利用導數方法求得函數的最值問題，也考查了分段函數的問題，是中檔題．