Question

設函數，其中a為正實數．
(l)若x=0是函數的極值點，討論函數的單調性；
(2)若在上無最小值，且在上是單調增函數，求a的取值范
圍；并由此判斷曲線與曲線在交點個數．

Answer 1

(1)增區間為，減區間為；(2)；0.

試題分析：(1)先求出，根據已知“是函數的極值點”，得到，解得，將其代入，求得，結合函數的定義域，利用導數求函數的單調區間；(2)先研究函數在區間沒有極小值的情況：，當時，在區間上先減后增，有最小值；當時，在區間上是單調遞增的，沒有最小值.再研究函數在區間上是單調增函數：在上恒成立，解得.綜合兩種情況得到的取值范圍.根據可知，利用導數研究函數的單調性，得到在區間上的最小值是，與的取值范圍矛盾，所以兩曲線在區間上沒有交點.
試題解析：(1) 由得，                     2分
的定義域為：，                                      3分
 ，函數的增區間為，減區間為.      5分
（2），   
若則在上有最小值，
當時，在單調遞增無最小值.              7分
∵在上是單調增函數∴在上恒成立，
∴.                                       9分
綜上所述的取值范圍為.                     10分
此時，
即,
則 h(x)在 單減，單增，               13分
極小值為. 故兩曲線沒有公共點.                  14分