Question

設函數。
（1）如果，求函數的單調遞減區間；
（2）若函數在區間上單調遞增，求實數的取值范圍；
（3）證明：當時，

Answer 1

（1）函數的單調減區間為.（2）.（3）分析法

試題分析：首先求導數，
討論得到當時，，確定函數的單調減區間為.
（2）注意討論①當時，情況特殊；②當時，令，求駐點，討論時，得函數的增區間為；
根據函數在區間上單調遞增，得到，得出所求范圍..
（3）利用分析法，轉化成證明；
構造函數，
應用導數知識求解
試題解析：（1）函數的定義域為，

當時，
時，，所以，函數的單調減區間為.
（2）①當時，，所以，函數的單調增區間為；
②當時，令，得，
當時，得，函數的增區間為；
又因為，函數在區間上單調遞增，
所以，，得，綜上知，.
（3）要證：只需證
只需證
設，                                     
則             11分
由（1）知：即當時，在單調遞減，
即時，有，         12分
∴，所以，即是上的減函數，   13分
即當，∴，故原不等式成立。         14分