Question

若sinα＝，sinβ＝，且α、β均為銳角，求α＋β的值．

 

Answer 1

【解析】學生錯【解析】

【解析】
∵α為銳角，∴cosα＝.

又β為銳角，∴cosβ＝.

∵sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝，

由于0°<α<90°，0°<β<90°，

∴0°<α＋β<180°，故α＋β＝45°或135°.

審題引導：在已知值求角中，角的范圍常常被忽略或不能發現隱含的角的大小關系而出現增根不能排除．要避免上述情況的發生，應合理選擇三角函數形式進行求解，根據計算結果，估算出角的較精確的取值范圍，并不斷縮小角的范圍，在選擇三角函數公式時，一般已知正切函數值，選正切函數，已知正余弦函數值時，若角在(0，π)時，一般選余弦函數，若是，則一般選正弦函數．

規范解答：【解析】
∵α為銳角，∴cosα＝.(2分)

又β為銳角，∴cosβ＝.(4分)

且cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝，(10分)

由于0<α<，0<β<，所以0<α＋β<π，

因為y＝cosx在上是單調遞減函數，故α＋β＝.(14分)

錯因分析：沒有注意挖掘題目中的隱含條件，忽視了對角的范圍的限制，造成出錯．

事實上，僅由sin(α＋β)＝，0°<α＋β<180°而得到α＋β＝45°或135°是正確的，但題設中sinα＝<，sinβ＝<，使得0°<α<30°，0°<β<30°從而0°<α＋β<60°，故上述結論是錯誤的．在已知值求角中，應合理選擇三角函數形式進行求解，避免增根．本題中0<α＋β<π，因為y＝cosx在上是單調函數，所以本題先求cos(α＋β)不易出錯．