Question

閱讀下列命題
①函數(shù)f(x)=4cos(2x+

π

3

)的一個對稱中心是(

-5π

12

，0)
②已知f(x)=

sinx，(sinx＜cosx) cosx，(cosx≤sinx)

，那么函數(shù)f（x）的值域是[-1，

2

2

]
③α，β均為第一象限的角，且α＞β，則sinα＞sinβ
④f（x）=sinx，g（x）=cosx，直線x=a（a∈R）與y=f（x），y=g（x）的交點分別為M、N，那么|MN|的最大值為2．以上命題正確的有（　　）

A．.①②

B．.③④

C．.①③

D．②④

Answer 1

分析：①通過余弦函數(shù)的對稱中心求出 f(x)=4cos(2x+

π

3

)的對稱中心，然后判斷 (-

5π

12

，0)是否為其中之一．
②f（x）=minsinx，cosx知f（x）為正弦余弦的最小值，通過函數(shù)圖象判斷．
③根據(jù)正弦函數(shù)在第一象限的單調性直接判斷；
④令F（x）=|sinx-cosx|求其最大值

解答：解：①函數(shù) f(x)=4cos(2x+

π

3

)的一個對稱中心 (-

5π

12

，0)；
∵y=cosx的對稱中心為：（kπ+

π

2

，0）（k∈z）
∴2x+

π

3

=kπ+

π

2

得：x=

kπ

2

+

π

12

 （k∈z）
當k=-1時，x=-

5π

12

∴函數(shù) f(x)=4cos(2x+

π

3

)的一個對稱中心 (-

5π

12

，0)正確．
②已知函數(shù)f（x）=min{sinx，cosx}，則f（x）的值域為 [-1，

2

2

]；
根據(jù)正弦函數(shù)余弦函數(shù)圖象易知，兩者最小值為-1，最小值中最大為

2

2

故正確
③若α，β均為第一象限角，且α＞β，則sinα＜sinβ．顯然不正確如α=390度，β=30度，顯然α＞β，但是sinα=sinβ
對于④，令F（x）=|sinx-cosx|=

2

|sin（x-

π

4

）|當x-

π

4

=

π

2

+kπ，x=

3π

4

+kπ，即當a=

3π

4

+kπ時，函數(shù)F（x）取到最大值

2

，故④錯，
故選A．

點評：本題考查余弦函數(shù)的對稱性，以及余弦函數(shù)的圖象．通過對四個選項的分析分別判斷，本題為中檔題．