Question

（2009•閘北區一模）設f(x)=2cos2x+

3

sin2x，g(x)=

1

2

f(x+

5π

12

)+ax+b，其中a，b為非零實常數．
（1）若f(x)=1-

3

，x∈[-

π

3

，

π

3

]，求x；
（2）若x∈R，試討論函數g（x）的奇偶性，并證明你的結論；
（3）已知：對于任意x₁，x₂∈R，恒有sin2x₁-sin2x₂≤2（x₁-x₂），當且僅當x₁=x₂時，等號成立．若a≥2，求證：函數g（x）在R上是遞增函數．

Answer 1

分析：（1）由已知中f(x)=2cos2x+

3

sin2x=1+2sin(2x+

π

6

)，根據f(x)=1-

3

，x∈[-

π

3

，

π

3

]，我們要以構造一個三角方程，結合正弦函數的圖象和性質得到答案．
（2）由已知中g(x)=ax-sin2x+b+

1

2

，根據函數奇偶性的定義及性質，以及正弦型函數的性質，對b的值進行分類討論，最后綜合討論結果，即可得到結論．
（3）由已知中對于任意x₁，x₂∈R，恒有sin2x₁-sin2x₂≤2（x₁-x₂），已知中不應該含絕對值吧，結合已知中g(x)=

1

2

f(x+

5π

12

)+ax+b，利用作差法，易判斷出g（x₁）-g（x₂）＜0，進而根據函數單調性的定義，得到結論．

解答：解：（1）由已知f(x)=2cos2x+

3

sin2x=1+2sin(2x+

π

6

)，（2分）
由1+2sin(2x+

π

6

)=1-

3

得：sin(2x+

π

6

)=-

3

2

，（1分）
∵-

π

3

≤x≤

π

3

，-

π

2

≤2x+

π

6

≤

5π

6

（1分）
∴2x+

π

6

=-

π

3

，x=-

π

4

．          （1分）
（2）由已知，得g(x)=ax-sin2x+b+

1

2

，（1分）
①∵當b=-

1

2

時，對于任意的x∈R，總有g（-x）=-ax-sin（-2x）=-（ax-sin2x）=-g（x），
∴g（x）是奇函數．（2分）（沒有過程扣1分）
②當b≠-

1

2

時，∵g(

π

2

)≠±g(-

π

2

)或g（π）≠±g（-π）等
所以，g（x）既不是奇函數，又不是偶函數． （2分）（沒有過程扣1分）
（3）對于任意x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，由已知，有sin2x₂-sin2x₁＜2（x₂-x₁），（2分）
∴g（x₁）-g（x₂）=a（x₁-x₂）+（sin2x₂-sin2x₁）＜（a-2）（x₁-x₂），
∵a≥2，∴g（x₁）-g（x₂）＜0．    （3分）
故，函數g（x）是遞增函數．         （1分）
注：由于用求導的方法證明不用已知條件，不給分．

點評：本題考查的知識點是三角函數的恒等變換應用，輔助角公式，正弦型函數的圖象和性質，函數的奇偶性，函數的單調性，是函數問題比較綜合的考查，熟練掌握正弦型函數的圖象和性質是解答本題的關鍵．