Question

已知函數.
（1）求的單調區間；
（2）記為的從小到大的第個零點，證明：對一切，有.

Answer 1

(1) 單調遞減區間為,
單調遞增區間為.(2)詳見解析

試題分析:(1)對函數求導得到導函數,求大于0和小于0的解集得到單調減區間和單調增區間,但是必須注意正余弦的周期性和原函數的定義域.
(2)利用(1)問的結果可知函數在區間上是單調遞減的,即在區間上至多一個零點,根據正余弦的函數值可得,再根據在區間上單調性和函數在區間端點處函數值異號可得函數在區間上有且只有一個零點,即,則依次討論利用放縮法即可證明.
數求導可得,令可得
,當時,.此時;
當時,,此時,
故函數的單調遞減區間為,
單調遞增區間為.
(2)由(1)可知函數在區間上單調遞減,又,所以,
當時,因為,且函數的圖像是連續不斷的,所以在區間內至少存在一個零點,又在區間上是單調的,故,因此,
當時,;
當時,;
當時,


,
綜上所述,對一切的,.