Question

(19)如圖,在Rt△ABC中,已知BC=a,若長為2a的線段PQ以點A為中點,問與的夾角θ取何值時

·的值最大?并求出這個最大值.

Answer 1

(19)本小題主要考查向量的概念,平面向量的運算法則,考查運用向量及函數知識的能力.

解法一：∵⊥,∴·=0.

∵=－,=－,=－,

∴·=(－)·(－)

=·－·－· +·

=－a²－·+·

=－a²+·(－)

=－a²+·

=－a²+a²cosθ.

故當cosθ=1,即θ=0(與方向相同)時,·最大,其最大值為0.

解法二:以直角頂點A為坐標原點,兩直角邊所在直線為坐標軸建立如圖所示的平面直角坐標系.

設|AB|=c,|AC|=b,則A(0,0),B(c,0),C(0,b).

且|PQ|=2a,|BC|=a.

設點P的坐標為(x,y),則Q(－x,－y).

∴=(x－c,y), =(－x,－y－b), =(－c,b),=(－2x,－2y).

∴·=(x－c)(－x)+y(－y－b)=－(x²+y²)+cx－by.

∵cosθ==,

∴cx－by=a²cosθ.

∴·=－a²+a²cosθ.

故當cosθ=1,即θ=0(PQ與BC方向相同)時, ·最大,其最大值為0.