Question

已知定點A（0，1），B（0，-1），C（1，0），動點P滿足：

AP

•

BP

=k|

PC

|²，
（1）求動點P的軌跡方程，并說明方程表示的曲線類型；
（2）當k=2，求|2

AP

+

BP

|的最大，最小值．

Answer 1

分析：（1）設出P點坐標，求出向量的坐標，然后分k=1和k≠1由

AP

•

BP

=k|

PC

|²得到P點軌跡；
（2）把k=2代入（1）求出的軌跡方程，得到x²+y²=4x-3，利用向量的坐標運算求出|2

AP

+

BP

|，把x²+y²=4x-3整體代入后轉化為求6x-y的最值，令t=6x-y，由圓心到直線t=6x-y的距離不大于圓的半徑求t的范圍，從而得到結論．

解答：解：（1）設P（x，y），

AP

=(x，y-1)，

BP

=(x，y+1)，

PC

=(1-x，-y)．
當k=1時，由

AP

•

BP

=k|

PC

|²，得x²+y²-1=（1-x）²+y²，
整理得：x=1，表示過（1，0）且平行于y軸的直線；
當k≠1時，由

AP

•

BP

=k|

PC

|²，得x²+y²-1=k（1-x）²+ky²，
整理得：(x+

k

1-k

)2+y2=(

1

1-k

)2，表示以點(-

k

1-k

，0)為圓心，以

1

|1-k|

為半徑的圓．
（2）當k=2時，方程化為（x-2）²+y²=1，即x²+y²=4x-3，
∵2

AP

+

BP

=(3x，3y-1)，
∴|2

AP

+

BP

|=

9x2+9y2-6y+1

，又x²+y²=4x-3，
∴|2

AP

+

BP

|=

36x-6y-26

=

6(6x-y)-26

．
問題歸結為求6x-y的最值，令t=6x-y，
∵點P在圓（x-2）²+y²=1，圓心到直線t=6x-y的距離不大于圓的半徑，
∴

|12-t|

37

≤1，解得12-

37

≤t≤12+

37

．
∴

37

-3≤|2

AP

+

BP

|≤12+

37

．

點評：本題考查了平面向量的數量積運算，考查了軌跡方程的求法，考查了向量模的求法，體現了數學轉化思想方法及整體運算思想方法，屬有一定難度題目．