Question

（本題滿分12分）已知等比數列{a_n}滿足a₁+a₆=11，且a₃a₄=.
（1）求數列{a_n}的通項a_n；
（2）如果至少存在一個自然數m，恰使，，a_m+1+這三個數依次成等差數列，問這樣的等比數列{a_n}是否存在?若存在，求出通項公式；若不存在，請說明理由.

Answer 1

（1）a_n=×2^6-n或a_n=·2^n-1. （2）滿足條件的等比數列存在，且有a_n=·2^n-1

（1）由題意得
∴a_n=×2^6-n或a_n=·2^n-1.
（2）對a_n=·2^n-1，若存在題設要求的m，則
2（·2^m-1）²=··2^m-2+·2^m+.
∴（2^m）²-7·2^m+8=0.
∴2^m=8，m=3.
對a_n=·2^6-n，若存在題設要求的m，同理有（2^6-m）²-11·2^6-m-8=0.
而Δ=11²+16×8不是完全平方數，故此時所需的m不存在.
綜上所述，滿足條件的等比數列存在，且有a_n=·2^n-1.