Question

i設(shè)關(guān)于x的方程是x²-(tanθ+i)x-(2+i)=0.

(1)若方程有實(shí)數(shù)根,求銳角θ和實(shí)數(shù)根;

(2)證明對(duì)任意θ≠kπ+(k∈Z),方程無(wú)純虛數(shù)根.

Answer 1

剖析:(1)對(duì)于復(fù)數(shù)方程存在實(shí)根的問(wèn)題,一般可先設(shè)出實(shí)根,然后再利用復(fù)數(shù)相等的條件求解.

    (2)直接證明有困難時(shí),可用反證法.

(1)解:設(shè)實(shí)數(shù)根為α,則α²-(tanθ+i)α-2(2+i)=0,

    即α²-tanθ·α-2-(α+1)i=0.

    ∴

    又θ∈(0,),∴θ=,α=-1.

    (2)證明:若方程有純虛數(shù)根βi(β∈R,β≠0),則(βi)²-(tanθ+i)·(βi)-(2+i)=0.

    ∴

    此方程組無(wú)解,

    ∴原方程沒(méi)有純虛數(shù)根.