Question

已知動圓過定點，且與直線相切.

(1)求動圓的圓心軌跡的方程；
(2) 是否存在直線，使過點（0，1），并與軌跡交于兩點，且滿足？若存在，求出直線的方程；若不存在，說明理由.

Answer 1

⑴；⑵。

（1）如圖，設為動圓圓心， ，過點作直線的垂線，垂足為
，由題意知：， ………………………………………………2分
即動點到定點與定直線的距離相等，由拋物線的定義知，點的軌跡為拋物線，其中為焦點，為準線， ∴動點的軌跡方程為 ………………………5分
（2）由題可設直線的方程為，
由得  
△， ………………………………………………………………………………7分
設，，則， 
由，即，，于是，
即，，
，解得或（舍去），…………………………………10分
又，  ∴直線存在，其方程為 ………………………………12分