Question

已知數列{an}的前n項和為Sn，對一切正整數n，點Pn(n，Sn)都在函數f(x)＝x2＋2x的圖象上，且在點Pn(n，Sn)處的切線的斜率為kn.

(1)求數列{an}的通項公式；

(2)若bn＝2knan，求數列{bn}的前n項和Tn.

 

Answer 1

（1）an＝2n＋1（2）Tn＝·4n＋2－

【解析】(1)∵點Pn(n，Sn)在函數f(x)＝x2＋2x的圖象上，

∴Sn＝n2＋2n(n∈N*)，當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1，當n＝1時，a1＝S1＝3滿足上式，所以數列{an}的通項公式為an＝2n＋1.

(2)由f(x)＝x2＋2x，求導得f′(x)＝2x＋2.

∵在點Pn(n，Sn)處的切線的斜率為kn，

∴kn＝2n＋2，∴bn＝2knan＝4·(2n＋1)·4n，

∴Tn＝4×3×4＋4×5×42＋4×7×43＋…＋4×(2n＋1)×4n，用錯位相減法可求得Tn＝·4n＋2－.