Question

（1）已知三次函數f(x)=

a

3

x3+

b

2

x2+cx+d(a＜b)在R上單調遞增，求

a+b+c

b-a

的最小值．
（2）設f（x）=x²+bx+c（b，c∈R）．若|x|≥2時，f（x）≥0，且f（x）在區間（2，3]上的最大值為1，求b²+c²的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）由題意得f'（x）=ax²+bx+c在R上恒大于或等于0，得a＞0，△=b²-4ac≤0，將此代入

a+b+c

b-a

，將式子進行放縮，以

b

a

為單位建立函數關系式，最后構造出運用基本不等式的模型使問題得到解決；
（2）因為若|x|≥2時，f（x）≥0，且f（x）在區間（2，3]上的最大值為1，f（x）在區間（2，3]上的最大值只能在閉端點取得，故有f（2）≤f（3）=1，從而b≥-5且c=-3b-8．在分類討論基礎上，將以上關系變為不等式組，消去c可得b的取值范圍，最后將b²+c²轉化為b的函數，求其值域可得b²+c²的最大值和最小值．

解答：解：（1）由題意f'（x）=ax²+bx+c≥0在R上恒成立，則a＞0，△=b²-4ac≤0．
∴

a+b+c

b-a

=

a2+ab+ac

ab-a2

≥

a2+ab+ 1 4 b2

ab-a2

=

1+ b a + 1 4 ( b a )2

b a -1

令t=

b

a

(t＞1)，

a+b+c

b-a

≥

1+t+ 1 4 t2

t-1

=

1

4

(t+2)2

t-1

=

1

4

(t-1+3)2

t-1

=

1

4

(t-1+

9

t-1

+6)≥3．（當且僅當t=4，即b=4a=4c時取“=”）
（2）由題意函數圖象為開口向上的拋物線，且f（x）在區間（2，3]上的最大值只能在閉端點取得，
故有f（2）≤f（3）=1，從而b≥-5且c=-3b-8．
①若f（x）=0有實根，則△=b²-4c≥0，
在區間[-2，2]有

f(-2)≥0 f(2)≥0 -2≤ b 2 ≤2

即

4-2b+c≥0 4+2b+c≥0 -4≤b≤4

消去c，解出

b≤- 4 5 b≤-4 -4≤b≤4

即b=-4，這時c=4，且△=0．
②若f（x）=0無實根，則△=b²-4c＜0，將c=-3b-8代入解得-8＜b＜-4．
綜上-5≤b≤-4．
所以b²+c²=b²+（-3b-8）²=10b²+48b+64，在[-5，-4]單調遞減，
故（b²+c²）_min=32，（b²+c²）_max=74．

點評：本題考查了利用導數工具研究三次函數的單調性以及函數與方程的綜合應用問題，屬于中檔題．解決本題應注意轉化化歸思想和分類討論思想的應用．