Question

已知曲線S：y=-

2

3

x³+x²+4x及點P（0，0），求過點P的曲線S的切線方程．

Answer 1

分析：求函數的導數，利用導數的幾何意義求切線方程．

解答：解：設過點P的切線與曲線S切于點Q（x₀，y₀），則過點P的曲線S的切線斜率
k=f′(x0)=-2

x

2 0

+2x0+4，又kPQ=

y0

x0

，所以-2

x

2 0

+2x0+4=

y0

x0

．①
因為點Q在曲線S上，所以y0=-

2

3

x

3 0

+

x

2 0

+4x0②，
②代入①得

- 2 3 x 3 0 + x 2 0 +4x0

x0

=-2

x

2 0

+2x0+4，化簡，得

4

3

x

3 0

-

x

2 0

=0，
解得x₀=0或x0=

3

4

若x₀=0，則k=4，過點P的切線方程為y=4x；
若x0=

3

4

，則k=

35

8

，過點P的切線方程為y=

35

8

x，
所以過點P的曲線的切線方程為y=4x或y=

35

8

x，

點評：導f'（x₀）的幾何意義是曲線數y=f（x）在某點x₀處切線的斜率．所以求切線的方程可通過求導數先得到斜率，再由切點利用點斜式方程得到，
求過點p（x₀，y₀）的切線方程時，一要注意p（x₀，y₀）是否在曲線上，二要注意該點可能是切點，也可能不是切點，因而所求的切線方程可能不只有1條．