Question

（滿分20分）本題有2小題，第1小題12分，第2小題8分．
設為定義域為的函數，對任意，都滿足：，，且當時，
（1）請指出在區間上的奇偶性、單調區間、最大（小）值和零點，并運用相關定義證明你關于單調區間的結論；
（2）試證明是周期函數，并求其在區間上的解析式．

Answer 1

略

解：（1）偶函數；.………………………………………………………………………1分
最大值為、最小值為0；.…………….……………………………………………………1分
單調遞增區間：單調遞減區間：；...…………………………………………1分
零點：．.…………………………..……………………………………………………1分
單調區間證明：
當時，
設，，

證明在區間上是遞增函數
由于函數是單調遞增函數，且恒成立，
所以，，

所以，在區間上是增函數．…………………………………………………….4分
證明在區間上是遞減函數
【證法一】因為在區間上是偶函數．
對于任取的，，有

所以，在區間上是減函數．…………………………………………………..4分
【證法二】設，由在區間上是偶函數，得

以下用定義證明在區間上是遞減函數………………………………………..4分
（2）設，，
所以，2是周期．        ……………………………………………………………4分
當時，，
所以………………………………………….4分