Question

（2012•泰安二模）已知函數f（x）=ax-lnx（a＞0)，g(x)=

8x

x+2

．
（I）求證f（x）≥1+lna；
（II）若對任意的x1∈[

1

2

，

2

3

]，總存在唯一的x2∈[

1

e2

，e]（e為自然對數的底數），使得g（x₁）=f（x₂），求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）求導數，由導數的正負取得函數的單調性，從而可得函數的最值，即可證明結論；
（II）首先確定g（x）∈[

8

5

，2]，再分類討論確定函數f（x）的值域，利用對任意的x1∈[

1

2

，

2

3

]，總存在唯一的x2∈[

1

e2

，e]（e為自然對數的底數），使得g（x₁）=f（x₂），建立不等式，即可求實數a的取值范圍．

解答：（I）證明：求導數可得f′（x）=a-

1

x

（x＞0）
令f′（x）＞0，可得x＞

1

a

，令f′（x）＜0，可得0＜x＜

1

a

∴x=

1

a

時，函數取得最小值
∴f（x）≥f（

1

a

）=1+lna；
（II）解：g′（x）=

16

(x+2)2

＞0，∴函數g（x），當x1∈[

1

2

，

2

3

]時，函數為增函數，∴g（x）∈[

8

5

，2]
當

1

a

≥e時，函數f（x）在x2∈[

1

e2

，e]上單調減，∴f（x）∈[

a

e2

+2，ae-1]
∴

a e2 +2≤ 8 5 ae-1≥2

，無解；
當

1

e2

＜

1

a

＜e時，函數f（x）在[

1

e2

，

1

a

]上單調減，在[

1

a

，e]上單調增，f（

1

a

）=1+lna≤

8

5

，∴a≤e

3

5

，∴

1

e

＜a≤e

3

5

當

1

a

≤

1

e2

時，函數f（x）在x2∈[

1

e2

，e]上單調增，∴f（x）∈[

a

e2

+2，ae-1]，∴

a e2 +2≥2 ae-1≤ 8 5

，無解
綜上知，

1

e

＜a≤e

3

5

．

點評：本題考查的知識點是利用導數求閉區間上函數的最值，函數解析式的求解及常用方法，考查分類討論的數學思想，屬于中檔題．