如圖，在棱長為
的正方體
中，點
是棱
的中點，點
在棱
上，且滿足
.
（1）求證：
；
（2）在棱
上確定一點
，使
、、、四點共面，并求此時
的長；
（3）求幾何體
的體積.
（1）詳見解析；（2）
；（3）
.
解析試題分析：（1）連接
，先由正方體的性質(zhì)得到
，以及
平面
，從而得到
，利用直線與平面垂直的判定定理可以得到
平面
，于是得到；（2）假設(shè)四點、、、四點共面，利用平面與平面平行的性質(zhì)定理得到
，
，于是得到四邊形
為平行四邊形，從而得到
的長度，再結(jié)合勾股定理得到
的長度，最終得到的長度；（3）連接
，由正方體的性質(zhì)得到
，結(jié)合（1）中的結(jié)論平面，得到
平面，然后選擇以點為頂點，
為高，四邊形
為底面的四棱錐，利用錐體的體積公式計算幾何體的體積.
試題解析：（1）如下圖所示，連接，
由于為正方體，所以四邊形為正方形，所以，
且平面，
，
，
平面，
平面，
；
（2）如下圖所示，假設(shè)、、、四點共面，則、、、四點確定平面，
由于為正方體，所以平面
平面
，
平面
平面
，平面平面
，
由平面與平面平行的判定定理得，
同理可得
，因此四邊形為平行四邊形，
，
在
中，
，
，
，
由勾股定理得
，
在直角梯形
中，下底
開心蛙狀元測試卷系列答案科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題
已知三棱柱ABC-A1B1C1中，側(cè)棱垂直于底面,AC=BC,點D是AB的中點．
(1)求證：BC1∥平面CA1D；
(2)求證：平面CA1D⊥平面AA1B1B；
(3)若底面ABC為邊長為2的正三角形，BB1=
求三棱錐B1-A1DC的體積．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題
如圖①所示，在Rt△ABC中，AC＝6，BC＝3，∠ABC＝90°，CD為∠ACB的平分線，點E在線段AC上，CE＝4.如圖②所示，將△BCD沿CD折起，使得平面BCD⊥平面ACD，連結(jié)AB，設(shè)點F是AB的中點．
圖①
圖②
(1)求證：DE⊥平面BCD；
(2)若EF∥平面BDG，其中G為直線AC與平面BDG的交點，求三棱錐B-DEG的體積．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題
如圖，四面體ABCD中，△ABC與△DBC都是邊長為4的正三角形．
(1)求證：BC⊥AD；
(2)試問該四面體的體積是否存在最大值？若存在，求出這個最大值及此時棱長AD的大小；若不存在，請說明理由．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題
如圖,已知平行四邊形ABCD中,BC=2,BD⊥CD,四邊形ADEF為正方形,平面ADEF⊥平面ABCD.記CD=x,V(x)表示四棱錐F-ABCD的體積.
(1)求V(x)的表達式.
(2)求V(x)的最大值.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題
右圖為一簡單組合體，其底面ABCD為正方形，PD⊥平面ABCD，EC∥PD，且PD＝AD＝2EC＝2.
(1)請畫出該幾何體的三視圖；
(2)求四棱錐BCEPD的體積．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題
如圖所示是一幾何體的直觀圖、正(主)視圖、側(cè)(左)視圖、俯視圖．
(1)若F為PD的中點，求證：AF⊥面PCD；
(2)求幾何體BEC－APD的體積．
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是菱形，
是矩形，
面
,
．
；
，求四棱錐
的體積．
中，
為線段
的中點,
.
⊥平面
；
到平面
的距離.