Question

已知函數f(x)＝ln x－.
(1)若a>0，試判斷f(x)在定義域內的單調性；
(2)若f(x)在[1，e]上的最小值為，求a的值；
(3)若f(x)<x²在(1，＋∞)上恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

（1）f(x)在(0，＋∞)上是單調遞增函數
（2）a＝－.
（3）a≥－1時，f(x)<x²在(1，＋∞)上恒成立

試題分析：解　(1)由題意f(x)的定義域為(0，＋∞)，且f′(x)＝＋＝.因為a>0，所以f′(x)>0，故f(x)在(0，＋∞)上是單調遞增函數．  3分
(2)由(1)可知，f′(x)＝.
①若a≥－1，則x＋a≥0，即f′(x)≥0在[1，e]上恒成立，此時f(x)在[1，e]上為增函數，
所以f(x)_min＝f(1)＝－a＝，所以a＝－ (舍去)．  5分
②若a≤－e，則x＋a≤0，即f′(x)≤0在[1，e]上恒成立，此時f(x)在[1，e]上為減函數，
所以f(x)_min＝f(e)＝1－＝⇒a＝－ (舍去)．   7分
③若－e<a<－1，令f′(x)＝0得x＝－a，當1<x<－a時，f′(x)<0，所以f(x)在[1，－a]上為減函數；當－a<x<e時，f′(x)>0，所以f(x)在[－a，e]上為增函數，所以f(x)_min＝f(－a)＝ln(－a)＋1＝⇒a＝－. 
綜上所述，a＝－.     9分
(3)因為f(x)<x²，所以ln x－<x².又x>0，所以a>xln x－x³.
令g(x)＝xln x－x³，
h(x)＝g′(x)＝1＋ln x－3x²，h′(x)＝－6x＝.   11分
因為x∈(1，＋∞)時，h′(x)<0，h(x)在(1，＋∞)上是減函數．
所以h(x)<h(1)＝－2<0，即g′(x)<0，
所以g(x)在[1，＋∞)上也是減函數，則g(x)<g(1)＝－1，
所以a≥－1時，f(x)<x²在(1，＋∞)上恒成立．  13分
點評：主要是考查了導數在研究函數中的運用，屬于基礎題。