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如圖，已知四棱錐，底面是等腰梯形，
且∥，是中點，平面，
， 是中點．

（1）證明：平面平面；
（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值.

（1）詳見解析；（2）

解析試題分析：（1）根據中位線可得∥，從而可證得∥平面。證四邊形為平行四邊形可得∥平面，從而可證得平面平面。（2）法一：延長、交于點，連結，則平面，易證△與△全等。過作的垂線，則與垂足的連線也垂直。由二面角的平面角的定義可得所求二面角。再用余弦定理即可求其余弦值。法二空間向量法。由題意可以為坐標原點建立空間直角坐標系。根據各點的坐標求出個向量的坐標，在根據數量積公式求各面的法向量，在用數量積公式求其兩法向量夾角的余弦值。注意兩法向量所成的角可能與二面角相等也可能為其補角。
試題解析：(1) 證明： 且∥，2分
則平行且等于，即四邊形為平行四邊形，所以.
6分
(2) 『解法1』：
延長、交于點，連結，則平面，易證△與△全等，過作于，連，則，由二面角定義可知，平面角為所求角或其補角.
易求，又，，由面積橋求得，所以
所以所求角為，所以
因此平面與平面所成銳二面角的余弦值為
『解法2』：
以為原點，方向為軸，以平面內過點且垂直于方向為軸 以方向為

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖，在四棱錐E﹣ABCD中，矩形ABCD所在的平面與平面AEB垂直，且∠BAE=120°，AE=AB=4，AD=2，F，G，H分別為BE，AE，BC的中點
（1）求證：DE∥平面FGH；
（2）若點P在直線GF上，=λ，且二面角D﹣BP﹣A的大小為，求λ的值．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知四棱錐P—GBCD中(如圖)，PG⊥平面GBCD，GD∥BC，GD=BC，且BG⊥GC，GB=GC=2，E是BC的中點，PG=4

（1）求異面直線GE與PC所成角的余弦值；
（2）若F點是棱PC上一點，且，，求的值.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB=30°，∠ABC=90°，D為AC中點，于，延長AE交BC于F，將ABD沿BD折起，使平面ABD平面BCD，如圖2所示.

（1）求證：AE⊥平面BCD；
（2）求二面角A–DC–B的余弦值．
（3）在線段上是否存在點使得平面？若存在,請指明點的位置；若不存在，請說明理由.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖，在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，點E是棱AB上的動點.

（1）求證：DA1⊥ED1；
（2）若直線DA1與平面CED1成角為45o，求的值；
（3）寫出點E到直線D1C距離的最大值及此時點E的位置（結論不要求證明）.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

在四棱錐P-ABCD中，側面PCD底面ABCD，PDCD，底面ABCD是直角梯形，AB∥DC，，，．

(1)求證：BC平面PBD：
(2)求直線AP與平面PDB所成角的正弦值；
(3)設E為側棱PC上異于端點的一點，，試確定的值，使得二面角E－BD－P的余弦值為．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

四棱錐P—ABCD的底面是邊長為2的菱形，∠DAB=60°，側棱，，M、N兩點分別在側棱PB、PD上，.

(1)求證：PA⊥平面MNC。
(2)求平面NPC與平面MNC的夾角的余弦值．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖，在直三棱柱A1B1C1－ABC中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，A1A＝4，點D是BC的中點．

(1)求異面直線A1B與C1D所成角的余弦值；
(2)求平面ADC1與平面ABA1所成二面角的正弦值．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖所示，在直三棱柱A1B1C1－ABC中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，A1A＝4，點D是BC的中點．

(1)求異面直線A1B與C1D所成角的余弦值；
(2)求平面ADC1與平面ABA1所成二面角的正弦值．

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