Question

用數學歸納法證明：當n是不小于5的自然數時，總有2ⁿ>n²成立．

Answer 1

見解析

(1)當n＝5時，2⁵>5²，結論成立．
(2)假設當n＝k(，k≥5)時，結論成立，即有2^k>k²，
那么當n＝k＋1時，左邊＝2^k＋1＝2·2^k>2·k²＝(k＋1)²＋(k²－2k－1)＝(k＋1)²＋(k－1－)(k－1＋)>(k＋1)²＝右邊.
∴也就是說，當n＝k＋1時，結論成立．
∴由(1)、(2)可知，不等式2ⁿ>n²對，n≥5時恒成立．