Question

（本小題滿分14分）已知函數=
(1) 若存在單調增區間，求的取值范圍；
（2）是否存在實數>0，使得方程在區間內有且只有兩個不相等的實數根？若存在，求出的取值范圍？若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）a的取值范圍是(-1, 0)∪(0, +∞)
（2）, 所以a的取值范圍是(1, )

答：（1）由已知，得h(x)=  且x>0,  …………………...1f
則hˊ(x)=ax+2-=,…………………………………………………2f
∵函數h(x)存在單調遞增區間,
∴hˊ(x)>0有解, 且解滿足……………………….……3f
即不等式ax²+2x-1>0有滿足……………………..……4f
當a<0時, y=ax²+2x-1的圖象為開口向下的拋物線, 要使ax²+2x-1≥0總有x>0的解, 則方程ax²+2x-1=0至少有一個不重復正根, 而方程ax²+2x-1=0總有兩個不相等的根時, 則必定是兩個不相等的正根. 故只需Δ="4+4a>0," 即a>-1. 即-1<a<0……………….5f
當a>0 時, y= ax²+2x-1的圖象為開口向上的拋物線,  ax²+2x-1≥0 一定有x>0的解.    …………………………………………………………………………….……...6f           
綜上, a的取值范圍是(-1, 0)∪(0, +∞) ……………………………………….…….  7f
解法二、同解法一…….
即不等式ax²+2x-1>0有滿足……………………….……4f
即有解……………………………………………………….5f
令的最小值為……………………………………..……6f
結合題設得a的取值范圍是(-1, 0)∪(0, +∞) ………………………………………  7f
解法三、同解法一……….
即不等式ax²+2x-1>0有滿足……………………..……4f
(1)當, ，ax²+2x-1>0沒有符合條解………………………5f
(2)當，方程的兩根是，此時，區間是所求的增區間。.
………………………………………………………………………………………………6f
當，方程的兩根是，，區間為所求的增區
綜上, a的取值范圍是(-1, 0)∪(0, +∞) ……………………………………….…….  7f  
（2）解法一、方程
即為
等價于方程ax²+(1-2a)x-lnx="0" .  …………………………………………………..  8f
設H(x)= ax²+(1-2a)x-lnx, 于是原方程在區間()內根的問題, 轉化為函數H(x)在區間()內的零點問題………………………………………………………………….... 9f 
Hˊ(x)=2ax+(1-2a)-=  ……….….….10f
當x∈(0, 1)時, Hˊ(x)<0,  H(x)是減函數；  當x∈(1, +∞)時, Hˊ(x)>0,  H(x)是增函數；  
若H(x)在()內有且只有兩個不相等的零點, 只須
       ……………..…13f
解得, 所以a的取值范圍是(1, )  …………………… …..14f