Question

已知f(x)=

3+x 1+x2 ，0≤x≤3 f(3)，x＞3.

（1）求函數f（x）的單調區間；
（2）若關于x的方程f（x）-a=0恰有一個實數解，求實數a的取值范圍；
（3）已知數列{an}滿足：0＜an≤3，n∈N*，且a1+a2+a3+…a2009=

2009

3

，若不等式f（a₁）+f（a₂）+f（a₃）+…+f（a₂₀₀₉）≤x-ln（x-p）在x∈（p，+∞）時恒成立，求實數p的最小值．

Answer 1

分析：（1）當x＞3時，f(x)=f(3)=

3

5

是常數，不是單調函數，在0≤x≤3上解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，即可求出函數的單調區間；
（2）由（1）知函數的最值，要使方程f（x）-a=0恰有一個實數解，表示直線y=a與函數f（x）的圖象有且只有一個交點，從而求出a的范圍；
（3）先求出a1=a2=…=a2009=

1

3

時f（a₁）+f（a₂）+f（a₃）+…+f（a₂₀₀₉）的值，然后利用函數圖象與切線的位置關系證明f（a₁）+f（a₂）+f（a₃）+…+f（a₂₀₀₉）≤6027，最后求出x-ln（x-p）的最小值，時最小值大于等于6027即可．

解答：解：（1）當x＞3時，f(x)=f(3)=

3

5

是常數，不是單調函數；
當0≤x≤3時，f（x）=

3+x

1+x2

，
令f'（x）＞0解得x∈（0，

10

-3）
與f'（x）＜0解得x∈（

10

-3，3）
∴f（x）的單調增區間是（0，

10

-3）
f（x）的單調減區間是（

10

-3，3）
（2）由（1）知，f(0)=3，f(x)max=f(

10

-3)=

1

2( 10 -3)

=

10 +3

2

，f(3)=

3

5

則方程f（x）-a=0恰有一個實數解
表示直線y=a與函數f（x）的圖象有且只有一個交點
則

3

5

＜a＜3，或a=

10 +3

2

（3）a1=a2=…=a2009=

1

3

時f（a₁）+f（a₂）+f（a₃）+…+f（a₂₀₀₉）=6027
f（x）=

3+x

1+x2

在x=

1

3

處的切線為y=

3

10

(11-3x)
則有f(x)=

3+x

1+x2

≤

3

10

(11-3x)?(x-3)(x-

1

3

)2≤0成立
∴f（a₁）+f（a₂）+f（a₃）+…+f（a₂₀₀₉）≤6027
設g（x）=x-ln（x-p），g'（x）＞0解得x＞p+1
g'（x）＜0解得p＜x＜p+1，∴g（x）的最小值為p+1
只需p+1≥6027
∴p的最小值為6026

點評：本題主要考查了分段函數的應用，以及數列與函數的綜合，同時考查了分析問題解決問題的能力，屬于難題．