Question

求二次函數f（x）=x²-2ax+2在x∈[-1，1}上的最小值g（a），并指出g（a）的單調區間及其值域．

Answer 1

分析：由f（x）的圖象特征可分a＜-1；-1≤a≤1；a＞1三種情況進行討論，結合圖象可求得g（a）；由g（a）表達式易求其單調區間，分別求出各段的取值范圍，然后并起來即可得到函數值域．

解答：解：f（x）圖象的對稱軸為x=a，開口向上，
當a＜-1時，f（x）在[-1，1]上遞增，則g（a）=f（-1）=3+2a；
當-1≤a≤1時，g（a）=f（a）=2-a²；
當a＞1時，f（x）在[-1，1]上遞減，則g（a）=f（1）=3-2a；
所以g（a）=

3+2a，a＜-1 2-a2，-1≤a≤1 3-2a，a＞1

，
則g（a）的增區間為（-∞，-1）和[-1，0]；減區間為（1，+∞）和[0，1]．
當a＜-1時，g（a）＜1；當-1≤a≤1時，1≤g（a）≤2；當a＞1時，g（a）＜1；
所以g（a）的值域為（-∞，2]．

點評：本題考查二次函數在閉區間上的最值、二次函數的單調性及其值域，屬中檔題．