Question

如圖所示，P為△ABC所在平面外一點，PA⊥平面ABC，∠ABC=90°．
（1）求證：BC⊥PB；
（2）若AB=BC=2，PA=2

3

，E為PC中點，求AE與BC所成角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）由 PA⊥平面ABC，可得BC⊥PA，又BC⊥AB，故BC⊥平面PAB，從而證得BC⊥PB．
（2）取PB中點F，連接EF，則EF是三角形PBC的中位線，∠AEF即為所求，三角形AEF中，求出三邊之長，
由余弦定理求得 AE與BC所成角的余弦值．

解答：解：（1）證明：∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴BC⊥PA．
又BC⊥AB，PA∩AB=A，∴BC⊥平面PAB，∴BC⊥PB．
（2）取PB中點F，連接EF，則EF是三角形PBC的中位線，EF∥BC，連接AF，
則∠AEF即為所求，AE=

1

2

PC=

5

，AF=

1

2

PB=2，
EF=

1

2

BC=1，三角形AEF中，有余弦定理求得 cos∠AEF=

5

5

．

點評：本題考查證明線線垂直、線面垂直的方法，求異面直線成的角，找出異面直線成的角，是解題的關鍵．