Question

已知數列3.9，3.99，3.999，…，3.，…

（1）寫出它的通項a_n；

（2）計算|a_n－4|；

（3）第幾項以后所有的項與4的差的絕對值小于0.001？

（4）指出這個數列的極限.

Answer 1

解：（1）a_n=4－（）ⁿ.

（2）|a_n－4|=|4－（）ⁿ－4|=（）ⁿ.

（3）設第n項以后所有的項與4的差的絕對值小于0.001，則|a_n－4|=（）ⁿ<0.001，

∴n>3，即第3項以后滿足要求.

（4）數列{4－（）ⁿ}的各項與4的差的絕對值隨n的增大，越來越小，無限地接近于0，即各項隨n的增大無限地趨近于常數4.因此該數列的極限為4.

點評：無窮數列{a_n}的項a_n無限地趨近于某個常數a，即a_n與a的差的絕對值無限地接近于0，或a_n與a的差的絕對值越來越小，這個常數a即為數列{a_n}的極限.