Question

已知向量，其中ω＞0，記函數，已知f（x）的最小正周期為π．
（1）求f（x）的解析式；
（2）說出由y=sinx的圖象經過如何的變換可得到f（x）的圖象；
（3）當時，試求f（x）的值域．

Answer 1

解：（1）f（x）=sinωxcosωx+cos²ωx=sin2ωx+（1+cos2ωx）
=sin（2ωx+）+
∵ω＞0，∴T=π=，∴ω=1．
f（x）=sin（2x+）+，
（2）y=sinx的圖象向左平移個單位得的圖象
再由圖象上所有點的橫坐標變為原來的，縱坐標不變，
得到y=sin（2x+）的圖象，
最后再向上平移個單位就得到f（x）=sin（2x+）+的圖象．
（3）由（1），得∵0＜x＜，
∴＜2x+＜．
∴f（x）∈（1，]
∴求f（x）的值域為：（1，]．
分析：（1）由函數f（x）=•轉化為sin（2ωx+）+，利用周期公式求得ω，即可得出f（x）的解析式；
（2）函數y=sinx的圖象經過左右平移，得的圖象，然后是橫坐標變伸縮變換，縱坐標不變，可得到y=sin（2x+）的圖象，最后再向上平移個單位就得到f（x）=sin（2x+）+的圖象．
（3）由（1）得f（x）=sin（2x+）+，由0＜x＜，得＜2x+＜，再利用整體思想求解求f（x）的值域．
點評：本題主要考查用向量運算將函數轉化為一個角的一種三角函數，進一步研究三角函數的周期性和值域．