Question

已知動圓過定點，且與直線相切，其中。

（I）求動圓圓心的軌跡的方程；

（II）設A、B是軌跡上異于原點的兩個不同點，直線和的傾斜角分別為和，當變化且為定值時，證明直線恒過定點，并求出該定點的坐標。

Answer 1

（Ⅰ）（軌跡方程為；（Ⅱ）當時，直線恒過定點，當時直線恒過定點。

解析:

（I）如圖，設為動圓圓心，為記為，過點作直線的垂線，垂足為，由題意知：即動點到定點與定直線的距離相等，由拋物線的定義知，點的軌跡為拋物線，其中為焦點，為準線，所以軌跡方程為；

（II）如圖，設，由題意得（否則）且所以直線的斜率存在，設其方程為，顯然，將與聯立消去，得由韋達定理知①

（1）當時，即時，所以，所以由①知：所以。因此直線的方程可表示為，即，所以直線恒過定點。

（2）當時，由，

得==，

將①式代入上式整理化簡可得：，所以，

此時，直線的方程可表示為即，所以直線恒過定點。

所以由（1）（2）知，當時，直線恒過定點，當時直線恒過定點。

點評：該題是圓與圓錐曲線交匯題目，考察了軌跡問題，屬于難度較大的綜合題目。