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已知是常數），且（其中為坐標原點）.

（1）求關于的函數關系式；

（2）求函數的單調區間；

（3）若時，的最大值為4，求的值.

 

【答案】

（1）.（2）增區間為，

單調遞減區間為.（3）.

【解析】（1）數量積的坐標運算；（2）利用輔助角公式化簡函數，由復合函數的單調性，解不等式；

（3）先確定得到，將看作t,研究函數y=sint在的最值情況。

解：（1），

          所以.

（2）由（1）可得，

由，  解得；

由， 解得，

所以的單調遞增區間為，

單調遞減區間為.

（3），因為，     所以，

當，即時，取最大值，

所以，即.

 

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知定義在實數集上的函數fn（x）=xn，n∈N*，其導函數記為fn′（x），且滿足f2′[x1+a(x2-x1)]=
f2(x2)-f2(x1)
x2-x1
，a，x1，x2為常數，x1≠x2．
（1）試求a的值；
（2）記函數F（x）=b•f1（x）-lnf3（x），x∈（0，e]，若F（x）的最小值為6，求實數b的值；
（3）對于（2）中的b，設函數g(x)=(
b
3
)x，A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2）是函數g（x）圖象上兩點，若g′(x0)=
y2-y1
x2-x1
，試判斷x0，x1，x2的大小，并加以證明．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f(x)=
a•2x+a2-22x-1
（x∈R，x≠0），其中a為常數，且a＜0．
（1）若f（x）是奇函數，求常數a的值；
（2）當f（x）為奇函數時，設f（x）的反函數為f-1（x），且函數y=g（x）的圖象與y=f-1（x+1）的圖象關于y=x對稱，求y=g（x）的解析式并求其值域；
（3）對于（2）中的函數y=g（x），不等式g2（x）+2g（x）+t•g（x）＞-2恒成立，求實數t的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2009•棗莊一模）已知函數f（x）=
1
2
x2-2x，g(x)=logax（a＞0，且a≠1），其中a為常數，如果h（x）=f（x）+g（x）在其定義域上是增函數，且h'（x）存在零點（h'（x）為h（x）的導函數）．
（I）求a的值；
（Ⅱ）設A（m，g（m）），B（n，g（n））（m＜n）是函數y=g（x）的圖象上兩點，g'（x0）=
g(n)-g(m)
n-m
（g'（x）為g（x）的導函數），證明：m＜x0＜n．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2003•崇文區一模）已知圓B方程（x-c）2+y2=4a2（a＞c＞0，a，c是常數），且A（-c，0），點M在圓B上運動，線段AM的垂直平分線交MB于點P．
（Ⅰ）判斷點P的軌跡；
（Ⅱ）若滿足題設的點P，使∠APB取其最大值
π2
時，求點P的軌跡的離心率．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2012•韶關一模）已知函數f（x）=ax3+bx2+（b-a）x（a，b是不同時為零的常數），其導函數為f′（x）．
（1）當a=
1
3
時，若不等式f′（x）＞-
1
3
對任意x∈R恒成立，求b的取值范圍；
（2）求證：函數y=f′（x）在（-1，0）內至少存在一個零點；
（3）若函數f（x）為奇函數，且在x=1處的切線垂直于直線x+2y-3=0，關于x的方程f（x）=-
1
4
t在[-1，t]（t＞-1）上有且只有一個實數根，求實數t的取值范圍．

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