Question

已知函數
（1）若x=e為y=f（x）-2ex-ax的極值點，求實數a的值
（2）若x是函數f（x）的一個零點，且x∈（b，b+1），其中b∈N，則求b的值
（3）若當x≥1時，求c的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知函數，y=f（x）-2ex-ax，我們易求出函數y=f（x）-2ex-ax的解析式，又由進而求出其導函數的解析式，又由x=e為y=f（x）-2ex-ax的極值點，故y'_x=e=0，由此構造關于a的方程，解方程即可求出實數a的值
（2）根據函數單調性的性質，我們易得函數為增函數，若x是函數f（x）的一個零點，利用二分法我們易得在區間（，1）上存在函數唯一的零點，則（，1）?（b，b+1），又由b∈N，即求出b的值
（3）構造函數，則問題可轉化為當x≥1時函數恒成立問題，分析函數的單調性，求出函數的最值，即可求出c的取值范圍．
解答：解：（1）…（2分）
∵y在x=e處取得極值，∴y'_x=e=0即解得
經檢驗符合題意，∴…（4分）
（2）∵，（x＞0），∴f'（x）＞0
∴f（x）在（0，+∞）上單調遞增…（5分）
又∴
且
由二分法可得…（7分）
又∵
∴b=0…（8分）
（3）設，，∵x≥1，∴
（ⅰ）若c≤2，當x≥1時，恒成立
故g（x）在（0，+∞）上為增函數，
所以，x≥1時，g（x）≥g（1），即．…（9分）
若c＞2，方程g'（x）=0有2根
或且x₁＜1＜x₂
此時若x∈（1，x₂），則g'（x）＜0，
故g（x）在該區間為減函數
所以x∈（1，x₂）時，g（x）＜g（1）=0即
與題設矛盾
綜上，滿足條件的c的取值范圍是（-∞，2]…（12分）
點評：本題考查的知識點是函數在某點取得極值的條件，函數恒成立問題，函數的零點，其中（1）的關鍵是根據函數在某點取得極值的條件構造方程y'_x=e=0，（2）的關鍵是用二分法求出在區間（，1）上存在函數唯一的零點，（3）的關鍵是將問題轉化為一個函數恒成立問題．