Question

已知函數其中，
（I）若求的值；
（Ⅱ）在（I）的條件下，若函數的圖像的相鄰兩條對稱軸之間的距離等于，求函數的解析式；并求最小正實數，使得函數的圖像象左平移個單位所對應的函數是偶函數。

Answer 1

（I）（Ⅱ），最小正實數

試題分析：解法一：（I）由得即又
（Ⅱ）由（I）得，  , 依題意，
又故
函數的圖像向左平移個單位后所對應的函數為

是偶函數當且僅當,  即,
從而，最小正實數
解法二： （I）同解法一 
（Ⅱ）由（I）得，
依題意，,  又，故
函數的圖像向左平移個單位后所對應的函數為
是偶函數當且僅當對恒成立
亦即對恒成立。

即對恒成立。    
故 
從而，最小正實數
點評：此類問題常考查三角函數圖象的變換，三角函數的定義域、值域、周期性和單調性及三角函數圖象與性質的簡單應用等