Question

已知函數（a為常數）在x=1處的切線的斜率為1．

(1)求實數a的值，并求函數的單調區間，

(2)若不等式≥k在區間上恒成立，其中e為自然對數的底數，求實數k的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

(1)的單調遞增區間是，的單調遞減區間是;(2).

【解析】

試題分析：(1)先求，利用在處的導數就是此點處切線斜率，即，算出a,然后確定函數的定義域，利用的區間為函數的增區間，的區間為函數的減區間；(2)將不等式恒成立轉化成，利用(1)在的單調性，判斷出在上的最小值為或，所以分別求出和,然后比較得出最小值.即，此題考察利用導數研究函數性質，邏輯推理要嚴謹，此題屬于中檔題.

試題解析：(1)

由題知：即，解得，.

，定義域

，由，得，

當時，，此時，，在上單調遞減.

當時，，此時，，在上單調遞增.

綜上：的單調遞增區間是，的單調遞減區間是.

(2)由(1)知在上單調遞增，在上單調遞減.

在上的最小值為或

又，且

在上的最小值為

若在上恒成立，則

考點：1.求函數的導數；2.利用導數求函數的單調區間和最值.