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已知橢圓C的一個焦點F與拋物線y2=12x的焦點重合，且橢圓C上的點到焦點F的最大距離為8．
（Ⅰ）求橢圓C的標準方程；
（Ⅱ）若點P（m，n）是橢圓C上的一動點，求直線l：mx+ny=1被圓O：x2+y2=1所截得的弦長的取值范圍．
分析：（I）算出拋物線焦點F（3，0），設橢圓C的方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），結合題意建立關于a、b、c的方程組，解出a、b、c的值，即可得到橢圓C的標準方程；
（II）由點到直線的距離公式，算出0到l的距離d=
1
m2+n2
＜1=r，從而利用垂徑定理算出直線l被圓0截得的弦長L=2
1-
1
9
25
m2+16
，由橢圓的性質(zhì)得0≤m2≤25，代入加以計算可得直線l被圓0截得的弦長的取值范圍．
解答：解：（Ⅰ）拋物線y2=12x的焦點是F（3，0），
設橢圓C的方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），
則
c=3
a+c=8
a2=b2+c2
，解之得a=5，b=4，c=3，
所以橢圓C的方程為
x2
25 
+
y2
16 
=1…（4分）
（Ⅱ）∵點P（m，n）在橢圓C上運動，所以1=
m2
25 
+
n2
16 
＜m2+n2，
又∵直線l與圓0相交，
∴圓心0到直線l的距離d=
1
m2+n2
＜1=r．
直線l被圓0截得的弦長為
L=2
r2-d2
=2
1-
1
m2 +n2
=2
1-
1
9
25
m2+16

由于0≤m2≤25，所以16≤
9
25
m2+16≤25，則L∈[
15
2
，
4
6
5
]，
即直線l被圓0截得的弦長的取值范圍是[
15
2
，
4
6
5
]…（8分）
點評：本題給出橢圓與拋物線滿足的條件，求橢圓的方程并依此求直線圓單位圓截得弦長的取值范圍．著重考查了橢圓、拋物線的簡單幾何性質(zhì)和直線與圓的位置關系等知識，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•黃埔區(qū)一模）給定橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)，稱圓心在原點O、半徑是
a2+b2
的圓為橢圓C的“準圓”．已知橢圓C的一個焦點為F(
2
，0)，其短軸的一個端點到點F的距離為
3
．
（1）求橢圓C和其“準圓”的方程；
（2）若點A是橢圓C的“準圓”與x軸正半軸的交點，B，D是橢圓C上的兩相異點，且BD⊥x軸，求
AB
•
AD
的取值范圍；
（3）在橢圓C的“準圓”上任取一點P，過點P作直線l1，l2，使得l1，l2與橢圓C都只有一個交點，試判斷l(xiāng)1，l2是否垂直？并說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•黃埔區(qū)一模）給定橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)，稱圓心在原點O、半徑是
a2+b2
的圓為橢圓C的“準圓”．已知橢圓C的一個焦點為F(
2
，0)，其短軸的一個端點到點F的距離為
3
．
（1）求橢圓C和其“準圓”的方程；
（2）過橢圓C的“準圓”與y軸正半軸的交點P作直線l1，l2，使得l1，l2與橢圓C都只有一個交點，求l1，l2的方程；
（3）若點A是橢圓C的“準圓”與x軸正半軸的交點，B，D是橢圓C上的兩相異點，且BD⊥x軸，求
AB
•
AD
的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C的一個焦點為F（0，1），過點F且垂直于長軸的直線被橢圓C截得的弦長為
2
；P，Q，M，N為橢圓C上的四個點．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若
PF
∥
FQ
，
MF
∥
FN
且
PF
•
FM
=0，求四邊形PMQN的面積的最大值和最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源：2012-2013學年江蘇省高三3月月考數(shù)學試卷（解析版） 題型：解答題

（本小題滿分15分）

給定橢圓C：，稱圓心在原點O、半徑是的圓為橢圓C的“準圓”．已知橢圓C的一個焦點為，其短軸的一個端點到點的距離為．

（1）求橢圓C和其“準圓”的方程；

（2）若點是橢圓C的“準圓”與軸正半軸的交點，是橢圓C上的兩相異點，且軸，求的取值范圍；

（3）在橢圓C的“準圓”上任取一點，過點作直線，使得與橢圓C都只有一個交點，試判斷是否垂直？并說明理由．

 

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