Question

設函數，數列滿足．

⑴求數列的通項公式；

⑵設，若對恒成立，求實數的取值范圍；

⑶是否存在以為首項，公比為的數列，，使得數列中每一項都是數列中不同的項，若存在，求出所有滿足條件的數列的通項公式；若不存在，說明理由

Answer 1

(1)  (2)  (3)

解析:

⑴因為，

所以．…………………………………………………………………………2分

因為，所以數列是以1為首項，公差為的等差數列．

所以．…………………………………………………………………………4分

⑵①當時，

．…………………………………………………………………………6分

②當時，

．…………………………………………8分

所以

要使對恒成立，

只要使．

只要使，

故實數的取值范圍為．……………………………………………………10分

⑶由，知數列中每一項都不可能是偶數．

①如存在以為首項，公比為2或4的數列，，

此時中每一項除第一項外都是偶數，故不存在以為首項，公比為偶數的數列．……………………………………………………………………………………12分

②當時，顯然不存在這樣的數列．

當時，若存在以為首項，公比為3的數列，．

則，，，．

所以滿足條件的數列的通項公式為．……………………………16分