Question

 

設函數．數列滿足，．

（Ⅰ）證明：函數在區間是增函數；

（Ⅱ）證明：；

（Ⅲ）設，整數．證明：．

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 解析：

（Ⅰ）證明：，

故函數在區間(0,1)上是增函數；

（Ⅱ）證明：（用數學歸納法）（i）當n=1時，，，

由函數在區間是增函數，且函數在處連續，則在區間是增函數，，即成立；

（ⅱ）假設當時，成立，即

那么當時，由在區間是增函數，得

.故，即時，也成立；

根據（ⅰ）、（ⅱ）可得對任意的正整數，恒成立.

 （Ⅲ）證明：若存在，則由知命題成立。

若對于任意，均有，則

 …………..(1)

,故，又因，即

所以（1）可化為。

故。