Question

給出下列命題：
（1）若

a

•

b

=

a

•

c

，則

b

=

c

；
（2）對空間任意點O與不共線的三點A，B，C，若

OP

=x

OA

+y

OB

+z

OC

（x，y，z∈R），則P，A，B，C四點共面；
（3）“曲線C上的點的坐標都是方程f（x，y）=0的解”是“曲線C的方程是f（x，y）=0”的必要條件；
（4）（

c

•

b

）

a

-（

a

•

c

）

b

與

c

垂直．
寫出以上命題為真命題的序號______．

Answer 1

對于（1），若

a

•

b

=

a

•

c

，則

b

=

c

；如果

a

=

0

，

a

•

b

=

a

•

c

，但是

b

=

c

也可能

b

≠

c

，∴（1）不正確；
對于（2），對空間任意點O與不共線的三點A、B、C，若

OP

=x

OA

+y

OB

+z

OC

（其中x、y、z∈R），只有當x+y+z=1時，P、A、B、C四點才共面，∴（2）不正確．
對于（3）方程的曲線和曲線的方程是這樣定義的：①曲線C上的點的坐標都是方程f（x，y）=0的解，
②以方程f（x，y）=0的解為坐標的點都在曲線C上．則方程是曲線的方程，曲線是方程的曲線．
（3）“曲線C上的點的坐標都是方程f（x，y）=0的解”是“曲線C的方程是f（x，y）=0”的必要條件；判斷正確；
對于（4），（

c

•

b

）

a

-（

a

•

c

）

b

與

c

垂直．∵[（

c

•

b

）

a

-（

a

•

c

）

b

]•

c

=

c

•

b

）

a

•

c

-（

a

•

c

）

b

•

c

=0，
∴（

c

•

b

）

a

-（

a

•

c

）

b

與

c

垂直，正確．
故答案為：（3）（4）．